Question

已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G．
（1）求證：△DFB≌△DAC；
（2）求證：CE=

1

2

BF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據(jù)AAS證出△BDF≌△CDA即可；
（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根據(jù)ASA證出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∠BDF=∠CDA ∠A=∠DFB BD=DC

，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS）．

（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，

∠AEB=∠CEB BE=BE ∠ABE=∠CBE

，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE=AE=

1

2

AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

BF．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，題目綜合性比較強(qiáng)．