Question

如圖，直線y=-3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點．
（1）填空：A（______，______）、B（______，______）、C（______，______）；
（2）求拋物線的函數關系式；
（3）E為拋物線的頂點，在線段DE上是否存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線AB的解析式，可求出A、B的坐標，由于△DOC是由△AOB旋轉而得，根據旋轉的性質知：OC=OB，由此可得到OC的長，即可求得C點的坐標；
（2）將A、B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；
（3）易求得D、E的坐標，進而可求出CD、DE的長；過E作EF⊥y軸于F，通過證△COD∽△DFE，可得到∠CDE=90°；那么△COD和△CDP中，∠COD、∠CDP都是直角，對應相等，因此本題要分成兩種情況討論：
①OC：OD=CD：DP=3：1，此時CD=3DP，由此可求出DP的長；過P作PG⊥y軸于G，根據∠PDG的正切值結合勾股定理，即可求出DG、PG的長，由此可求得點P的坐標；
②OC：OD=DP：CD=3：1，此時DP=3CD，解法同①；
綜合上述情況即可求出P點的坐標，需注意的是P點為線段DE上的點，因此DP≤DE，根據這個條件可將不合題意的解舍去．
解答：解：（1）直線y=-3x-3中，
x=0，則y=-3；y=0，則x=-1；
∴A（-1，0），B（0，-3）；
根據旋轉的性質知：OC=OB=3，即C（3，0）；
∴A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）；（3分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經過B點，∴c=-3；
又∵拋物線經過A，C兩點，
∴，解得；（5分）
∴y=x²-2x-3；（6分）

（3）過點E作EF⊥y軸垂足為點F；
由（2）得y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴E（1，-4）．
∵tan∠EDF=，tan∠DCO=；
∴∠EDF=∠DCO（7分）
∵∠DCO+∠ODC=90°，
∴∠EDF+∠ODC=90°；
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DOC；（8分）
①當=時，△ODC∽△DPC，
則=，
∴DP=（9分）
過點P作PG⊥y軸，垂足為點G；
∵tan∠EDF==，
∴設PG=x，則DG=3x
在Rt△DGP中，DG²+PG²=DP²．
∴9x²+x²=，
∴x₁=，x₂=-（不合題意，舍去）（10分）
又∵OG=DO+DG=1+1=2，
∴P（，-2）；（11分）
②當=時，△ODC∽△DCP，則=，
∴DP=3；
∵DE==，
∴DP=3（不合題意，舍去）（13分）
綜上所述，存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似，此時點P的坐標為P（，-2）．（14分）
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形的旋轉變化、相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用等知識；在相似三角形的對應邊和對應角不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．