Question

把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，，，把三角板固定不動，讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時，易證．此時，　　　　　　；將三角板由圖1所示的位置繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其中，問的值是否改變？答：　　　　　　（填“會”或“不會”）；若改變，的值為　　　　　　（不必說明理由）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

 

Answer 1

（1）8，不會；（2）當(dāng)時，

當(dāng)時，.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）情形1：當(dāng)時，，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；情形2：當(dāng)時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，由于，，易證：，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）由題意得8；將三角板旋轉(zhuǎn)后的值不會改變；

（2）情形1：當(dāng)時，，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，

由（2）知：得

于是

情形2：當(dāng)時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，

由于，，易證：，

即，解得

于是 

綜上所述，當(dāng)時，

當(dāng)時，.

本題涉及了旋轉(zhuǎn)問題的綜合題，此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.