Question

已知，如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB上和AD的延長線上，且BE=DF，連接EF，G為EF的中點．
求證：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

Answer 1

（1）證明：
∵BE=DF，
BC=CD，
∠EBC=∠CDF，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE=CF；

（2）證明
連接AG，CG
在Rt△EAF中，
∵G是斜邊EF的中點，
∴AG=GE=GF，
又∵△EBC≌△FDC
∴∠ECB=∠FCD，∠BCD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴同理：CG=GE=GF，即GC=GA，
∴G點在AC的垂直平分線上，
又∵DA=DC，
∴D點也在AC的垂直平分線上，
∴DG垂直平分AC．
分析：（1）利用三角形的全等，證明△CEB≌△CFD，即可解決；
（2）連接AG，CG，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出AG=GE=GF，再證明∠ECF=90°，即可得出CG=GE=GF，結(jié)論得證．
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，分別得出AG=GE=GF，CG=GE=GF，是解決問題的關(guān)鍵．