Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），與反比例函數(shù)y=

m

x

在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B（

1

2

，n）．連結(jié)OB，若S_△AOB=1．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）直接寫(xiě)出不等式組

x＞0 m x ＞kx+b

的解集；
（3）已知P是y軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)三角形AOB面積，以及A橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，利用三角形面積公式求出三角形的高，即為B的縱坐標(biāo)，確定出n的值，將B坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，確定出反比例解析式，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，由B橫坐標(biāo)求出不等式組的解集即可；
（3）分四種情況考慮，求出使以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（

1

2

，n），且S_△AOB=1，
∴

1

2

×1×n=1，即n=2，
∴B（

1

2

，2），
將B坐標(biāo)代入反比例解析式得：m=1，即反比例解析式為y=

1

x

；
將A（-1，0），B（

1

2

，2）代入一次函數(shù)解析式得：

-k+b=0 1 2 k+b=2

，
解得：

k= 4 3 b= 4 3

，
則一次函數(shù)解析式為y=

4

3

x+

4

3

；
（2）由B橫坐標(biāo)為

1

2

，根據(jù)函數(shù)圖象得：不等式組的解集為0＜x＜

1

2

；
（3）∵直線AB的斜率為

4

3

，直線BP₁⊥y軸，直線AP₄⊥y軸，
∴直線BP₁與直線AP₄的斜率為-

3

4

，
∴直線BP₁的方程為y-2=-

3

4

（x-

1

2

），直線AP₄的方程為y=-

3

4

（x+1），
令x=0，得到P₁（0，2

3

8

）；P₄（0，-

3

4

）；
設(shè)P坐標(biāo)為（0，p），
∵AP₂⊥BP₂，
∴k_AP2•k_BP2=-1，即

-p

-1-0

•

2-p

1 2 -0

=-1，
整理得：2p（2-p）=-1，即2p²-4p-1=0，
解得：p=

4± 24

4

=±

6

2

，
∴P₂（0，1+

6

2

）；P₃（0，1-

6

2

）；
綜上，P的坐標(biāo)為（0，2

3

8

）；（0，1+

6

2

）；（0，1-

6

2

）；（0，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，直線的點(diǎn)斜式方程，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．