Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6，-4）．
（1）畫(huà)出直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC，并寫(xiě)出頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)（點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C）；
（2）求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；
（3）試設(shè)計(jì)一種平移使（2）中的拋物線經(jīng)過(guò)四邊形ABCO的對(duì)角線交點(diǎn)；
（4）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到圖形OABC，因此梯形OMNH和梯形OABC是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，所以點(diǎn)A、B、C與點(diǎn)M、N、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）已知了拋物線圖象上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；
（3）可先求出直線OB、AC的解析式，聯(lián)立兩條直線的解析式即可求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)；若使（2）所得拋物線經(jīng)過(guò)此交點(diǎn)，那么平移方法有很多種，以該拋物線頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)此交點(diǎn)為例，首先將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后分別求出這兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的差，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律來(lái)確定平移方案即可；
（4）過(guò)B作BM⊥x軸于M，易求得MC、BM、BC的值，即可得到表示出EM的長(zhǎng)，然后分別表示出BE²、EF²、GF²、BG²的值，由于不確定四邊形BEFG的哪兩條鄰邊相等，因此分：①BG=GF，②BE=BG，③BE=EF，④GF=EF；四種情況進(jìn)行討論，根據(jù)各自的等量關(guān)系，列出不同的關(guān)于m的方程求出m的值．

解答：解：（1）利用中心對(duì)稱性質(zhì)，畫(huà)出梯形OABC．
∵A，B，C三點(diǎn)與M，N，H分別關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）；

（2）設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，4），
∴c=4．則拋物線關(guān)系式為y=ax²+bx+4．
將B（6，4），C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，得

36a+6b+4=4 64a+8b+4=0

解得

a=- 1 4 b= 3 2

所求拋物線關(guān)系式為：y=-

1

4

x2+

3

2

x+4；（2分）

（3）由y=-

1

4

x2+

3

2

x+4得，它的頂點(diǎn)是（3，

25

4

）
又直線OB的解析式是y=

2

3

x，直線AC的解析式是y=-

1

2

x+4，
兩直線的交點(diǎn)是（

24

7

，

16

7

）；
故

24

7

-3=

3

7

，

16

7

-

25

4

=-

111

28

；
所以，只要把拋物線y=-

1

4

x2+

3

2

x+4向右平移

3

7

，向下平移

111

28

個(gè)單位就能使頂點(diǎn)過(guò)梯形ABCO的對(duì)角線交點(diǎn)；

（4）OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．
過(guò)B作BM⊥x軸于M，則：BM=OA=4，MC=OC-AB=2；
∴EM=m-2或2-m，
即ME²=（m-2）²；
在Rt△BEM中，BM=4，ME²=（m-2）²；
根據(jù)勾股定理得：BE²=BM²+ME²=m²-4m+20；
同理：EF²=2m²-16m+64，GF²=2m²-8m+16，
而B(niǎo)G=6-m，
即BG²=m²-12m+36；則：
①GB=GF，則GB²=GF²，得：
m²-12m+36=2m²-8m+16，即m²+4m-20=0，
解得m=-2±2

6

（負(fù)值舍去）；
故當(dāng)m=-2+2

6

時(shí)，GB=GF，
②BE=BG，則BE²=BG²，得：
m²-4m+20=m²-12m+36，
解得m=2；
故當(dāng)m=2時(shí)，BE=BG．
③BE=EF，則BE²=EF²，
得：m²-4m+20=2m²-16m+64，
即m²-12m+44=0，
此方程無(wú)解，
故此種情況不成立．
④GF=EF，則GF²=EF²，
得：2m²-8m+16=2m²-16m+64，
解得m=6，
此時(shí)BG=6-m=0，構(gòu)不成四邊形BEFG，故此種情況不成立．
綜上所述，當(dāng)m=-2+2

6

時(shí)，GB=GF，當(dāng)m=2時(shí)，BE=BG．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)．要注意的（4）題，由于四邊形的相等鄰邊沒(méi)有明確告知，需要分類討論，以免漏解．