Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）C是線段AB的中點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：首先由A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），根據(jù)勾股定理，求得AB的長(zhǎng)，又由C是線段AB的中點(diǎn)，求得BC的長(zhǎng)，然后分別從①如圖1，若△PNC∽△OBA與②如圖2，若△PBC∽△ABO去分析求解即可求得答案．

解答：解：存在這樣的P點(diǎn)．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是線段AB的中點(diǎn)，
∴BC=5．
∵∠ABO是公共角，
①如圖1，若△PBC∽△OBA，
則需PB：OB=BC：BA，
即

PB

6

=

5

10

，
解得：PB=3，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）；
②如圖2，若△PBC∽△ABO，
∴PB：AB=BC：OB，
即

PB

10

=

5

6

，
解得：PB=

25

3

，
∴OP=PB-OB=

7

3

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-

7

3

）．
∴P（0，3）或（0，-

7

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．