Question

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明；
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD²+CE²=DE²；
（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，（3）中的等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析即可；
（2）可根據(jù)（1）中的相似三角形BAE和CDA得出關(guān)于AB，BE，CD，AC的比例關(guān)系，AB，AC可通過等腰直角三角形求出，因此根據(jù)比例關(guān)系即可得出m，n的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式，即可求出BE，CD的長，從而也就能求出OD，OE，DE，BD，CE的長，那么可通過計(jì)算得出本題的結(jié)論．
（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，我們知道HB⊥BD，那么DH²=BH²+BD²，而BH=CE，于是關(guān)鍵是證明HD=DE，連接AH，DH那么可通過證三角形AHD和ADE全等來求解．

解答：解：（1）可得△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

CA

=

BA

CD

．
由依題意可知CA=BA=

2

．
∴

m

2

=

2

n

．
∴m=

2

n

．
自變量n的取值范圍為1＜n＜2．

（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，
∵m=

2

n

，
∴m=n=

2

．
∵OB=OC=

1

2

BC=1，
∴OE=OD=

2

-1．
∴D（1-

2

，0）．
∴BD=OB-OD=1-（

2

-1）=2-

2

=CE．
DE=BC-2BD=2-2（2-

2

）=2

2

-2．
∵BD²+CE²=2BD²=2（2-

2

）²=12-8

2

，DE²=（2

2

-2）²=12-8

2

，
∴BD²+CE²=DE²．

（4）等量關(guān)系BD²+CE²=DE²成立．理由如下：
證明：如圖，將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中．
∵

AE=AH ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD AD=AD

，
∴△EAD≌△HAD．
∴DE=DH．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²．
∴BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．根據(jù)相似三角形或全等三角形得出線段成比例或相等是解題的關(guān)鍵．