Question

如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于H．已知正方形ABCD的邊長為4cm，解決下列問題：
（1）求證：BE⊥AG；
（2）求線段DH的長度的最小值．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點O，連接OH、OD，然后求出OH=

1

2

AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點共線時，DH的長度最小．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAD=∠CDA=90° AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG=45° DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴BE⊥AG；

（2）解：如圖，取AB的中點O，連接OH、OD，
則OH=AO=

1

2

AB=2，
在Rt△AOD中，OD=

OA2+AD2

=

22+42

=2

5

，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點共線時，DH的長度最小，
DH的最小值=OD-OH=2

5

-2．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時點H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．