Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，與x軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-，0），以0C為直徑作半圓，圓心為D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：直線BE是⊙D的切線；
（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點(diǎn)為P，M是線段CB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)M作MN∥BE交x軸與點(diǎn)N，連結(jié)PM，PN，設(shè)CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得A（0，2），B（2，2），E的坐標(biāo)為（-，0），
則，
解得，，
∴該二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+x+2；


（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G．
由題意，得
ED=+1=，EC=2+=，BC=2，
∴BE==．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴=，
∴DG=1．
∵⊙D的半徑是1，且DG⊥BE，
∴BE是⊙D的切線；

（3）由題意，得
E（-，0），B（2，2）．
設(shè)直線BE為y=kx+h（k≠0）．則
，
解得，，
∴直線BE為：y=x+．
∵直線BE與拋物線的對稱軸交點(diǎn)為P，對稱軸直線為x=1，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=，即P（1，）．
∵M(jìn)N∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴=，
∴=，則CN=t，
∴DN=t-1，
∴S_△PND=DN•PD=（t-1）•=t-．
S_△MNC=CN•CM=×t•t=t²．
S_梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t．
∵S=S_△PND+S_梯形PDCM-S_△MNC=-+t（0＜t＜2）．
∵拋物線S=-+t（0＜t＜2）的開口方向向下，
∴S存在最大值．當(dāng)t=1時，S_最大=．
分析：（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于a、b、c的方程組，利用三元一次方程組來求得系數(shù)的值；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，構(gòu)建相似三角形△EGD∽△ECB，根據(jù)它的對應(yīng)邊成比例得到=，由此求得DG=1（圓的半徑是1），則易證得結(jié)論；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線BE為：y=x+．則易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的對應(yīng)邊成比例，線段間的和差關(guān)系得到CN=t，DN=t-1．所以
S=S_△PND+S_梯形PDCM-S_△MNC=-+t（0＜t＜2）．由拋物線的性質(zhì)可以求得S的最值．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法．注意配方法在（3）題中的應(yīng)用．