Question

如圖，AB為⊙O的直徑，以AB為直角邊作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜邊BC與⊙O交于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，DG⊥AB于點F，交⊙O于點G．

（1）求證：E是AC的中點；

（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的長．

Answer 1

（1）證明：連AD，如圖

∵AB為⊙O的直徑，∠CAB=90°，

∴AC是⊙O的切線，

又∵DE與⊙O相切，

∴ED=EA，

∴∠EAD=∠EDA，

而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA，

∴∠C=∠CDE，

∴ED=EC，

∴EA=EC，

即E為BC的中點；

（2）解：由（1）知，E為BC的中點，則AC=2AE=6．

∵cos∠ACB=，∴sin∠ACB==．

連接AD，則∠ADC=90°．

在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6×=．

在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=×=，

∴DG=2DF=．