Question

已知：如圖，平面直角坐標系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），過點C的直線繞點C旋轉，交y軸于點D，交線段AB于點E．
（1）求∠OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；
（2）若△OCD與△BDE的面積相等，
①求直線CE的解析式；
②若y軸上的一點P滿足∠APE=45°，請你直接寫出P點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1；
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；
設直線AB的解析式為y=kx+b．
∴，
解得，，
∴直線AB的解析式為y=-x+1，
答：∠OAB的度數(shù)是45°，直線AB的解析式是y=-x+1．
（2）①∵S_△COD=S_△BDE，
∴S_△COD+S_{四邊形AODE}=S_△BDE+S_{四邊形AODE}，
即S_△ACE=S_△AOB，
∵點E在線段AB上，
∴點E在第一象限，且y_E＞0，
∴×AC×y_E=×OA×OB，
∴×2×y_E=×1×1，
y_E=，
把y=代入直線AB的解析式得：=-x+1，
∴x=，
設直線CE的解析式是：y=mx+n，
∵C（-1，0），E（，）代入得：，
解得：m=，n=，
∴直線CE的解析式為y=x+．

②P點的坐標為（0，0）．
分析：（1）根據(jù)A、B的坐標和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OAB的度數(shù)即可；設直線AB的解析式為y=kx+b，把A、B的坐標代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）①推出三角形AOB和三角形ACE的面積相等，根據(jù)面積公式求出E的縱坐標，代入直線AB的解析式，求出E的橫坐標，設直線CE的解析式是：y=mx+n，把E、C的坐標代入得出方程組，求出方程組的解即可；
②求出E再直線y=x上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，旋轉的性質(zhì)，三角形的面積等知識點，綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關鍵，此題題型較好，綜合性比較強，但難度適中，通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力．