Question

如圖，AD為△ABC的中線，DE、DF分別為△ADB、△ADC的角平分線，求證：BE+CF＞EF．

Answer 1

分析：根據中線的定義可得BD=CD，在AD上截取DN=DB=DC，然后利用“邊角邊”證明△BDE和△NDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=NE，同理證明△CDF和△NDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=NF，然后根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明．

解答：證明：∵AD為△ABC的中線，
∴BD=CD，
如圖，在AD上截取DN=DB=DC，
∵DE、DF分別為△ADB、△ADC的角平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△BDE和△NDE中，

BD=DN ∠1=∠2 DE=DE

，
∴△BDE≌△NDE（SAS），
∴BE=NE，
同理，在△CDF和△NDF中，

CD=DN ∠3=∠4 DF=DF

，
∴△CDF≌△NDF（SAS），
∴CF=NF，
在△EFN中，NE+NF＞EF，
∴BE+CF＞EF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，作輔助線構造出全等三角形并把BE、CF、EF的長度轉化為同一個三角形的三邊是解題的關鍵．