Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF為斜邊上的高，在射線AB上有點D，連接DF，作∠DFE＝90°，FE交射線BC于點E．

（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，如果AB＝CB，則DF與EF的數(shù)量關(guān)系為DF　 　EF（選填＞，＜，＝）

（類比探究）如圖2所示，如果改變Rt△ABC中兩直角邊的比例，使得AB＝2BC，則DF與EF還存在①中的關(guān)系嗎？

（拓展延伸）如圖3所示，在Rt△ABC中，如果已知BC＝，AB＝3，EF＝，試求BD的長．

Answer 1

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】：＝；【類比探究】：不存在①中的關(guān)系，關(guān)系為：DF＝2EF；【拓展延伸】：BD＝.

【解析】

問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，證明△ADF≌△BEF（SAS），得DF＝EF；

類比探究：如圖2所示，證明△ADF∽△BEF，得，則，可得結(jié)論；

拓展延伸：如圖3，連接DE，設(shè)CE＝a，根據(jù)勾股定理列等式：，解方程可得結(jié)論．

解：問題發(fā)現(xiàn):

DF與EF的數(shù)量關(guān)系為DF＝EF，理由是：

如圖1，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵BF⊥AC，

∴AF＝CF＝BF，∠ABF＝∠CBF＝45°，

∵∠AFD+∠BFD＝∠BFD+∠BFE＝90°，

∴∠AFD＝∠BFE，

在△ADF和△BEF中，

∵，

∴△ADF≌△BEF（SAS），

∴DF＝EF，

類比探究:

不存在①中的關(guān)系，關(guān)系為：DF＝2EF，

理由是：如圖2所示，∵∠A+∠ABF＝∠A+∠C＝90°，

∴∠ABF＝∠C，

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AFB，

∴，

∴，

∵∠A+∠ABF＝∠ABF+∠CBF＝90°，

∴∠A＝∠CBF，

∵∠AFD+∠BFD＝∠BFD+∠BFE＝90°，

∴∠AFD＝∠BFE，

在△ADF和△BEF中，

∵，

∴△ADF∽△BEF，

∴，

∵，AB＝2BC，

∴，

∴DF＝2EF；

拓展延伸：

連接DE，設(shè)CE＝a，

由以上結(jié)論可知： ,

∵EF＝，CE＝a，

∴BD＝，DF＝，

在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，得BD2+BE2＝DE2，

在Rt△DFE中，∠DFE＝90°，得DF2+EF2＝DE2，

∴BD2+BE2＝DF2+EF2，

即，

整理得：，

解得：a1＝，a2＝（舍），

∴BD＝．