Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A、B，請回答下列問題：
（1）在圖（1）中找出點A、點B關(guān)于y軸的對稱點D、C，將A、B、C、D四點順次連接起來，并回答四邊形ABCD是什么四邊形？（直接回答）
（2）若點P從B點出發(fā)，以每秒鐘2的速度沿B→C的方向運動，求經(jīng)過幾秒鐘后，AP所在的直線將四邊形ABCD的面積分成2：3．
（3）在線段BC上有一點E，△ABE是等腰三角形，將直線AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45°后與直線DC交于點F，求F點的坐標(biāo)．（圖（2）、（3）、（4）為備用圖）

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意容易得出四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒，先求出等腰梯形ABCD的面積，即可求出t的值；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)AE=BE時，②當(dāng)AE=AB時，③當(dāng)BE=BA時，分別求出F的坐標(biāo)即可．

解答： 解：（1）如圖1所示：四邊形ABCD是等腰梯形；

（2）如圖2所示：

設(shè)經(jīng)過t秒后，AP所在的直線將四邊形ABCD的面積分成2：3；
∵AD=2，BC=8，
∴S_{等腰梯形ABCD}=

1

2

（2+8）×3=15，
∴S_△ABP=

1

2

×2t×3=3t=15×

2

5

=6，
∴t=2，
即經(jīng)過2秒后，AP所在的直線將四邊形ABCD的面積分成2：3；
（3）分三種情況討論：①如圖3所示，
根據(jù)題意：當(dāng)AE=BE時，作FG⊥BC于G；

∴點E在AB的垂直平分線上，點E的坐標(biāo)為（-1，0），
∴∠AEC=90°，
∵∠AEF=45°，
∴∠FEC=45°，
由圖形得：∠C=45°，
∴∠EFC=90°，
∵CE=1+4=5，
∴FG=EG=

1

2

CE=

5

2

，
∴OG=

3

2

，∴F（

3

2

，

5

2

）；
②如圖4所示，

當(dāng)AE=AB時，
∵AB=CD，
∴AE=CD，
∵∠ABC=45°，
∴∠AEB=45°，
∴AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴CE=AD=2，
∴OE=2，
∴EF=2，
∴F（2，2）；
③如圖5所示：

當(dāng)BE=BA時，作FG⊥BC于G，
∵BE=BA=3

2

，∠ABC=45°，
∴E（3

2

-4，0），∠AEB=∠EAB=67.5°，
∴OE=3

2

-4，
∴CE=5-（3

2

-4）=9-3

2

，∠CEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CE=CF，
∵∠C=45°，
∴△CEF∽△BAE，
∴

FG

3

=

CE

AB

=

9-3 2

3 2

，
∴FG=

9 2 -6

2

，
∴CG=FG=

9 2 -6

2

，
∴OG=4-

9 2 -6

2

=7-

9 2

2

，
∴F（7-

9 2

2

，

9 2

2

-3）；
綜上所述：點F的坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

），或（2，2），或（7-

9 2

2

，

9 2

2

-3）．

點評：本題考查了點的坐標(biāo)、等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；培養(yǎng)學(xué)生綜合運用定理進(jìn)行推理和計算解決問題的能力；特別注意（3）中利用分類討論的方法求解，避免漏解．