【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,△OAB的頂點A、B的坐標分別是A(0,5),B(3,1),過點B畫BC⊥AB交直線y=﹣m(m> )于點C,連結AC,以點A為圓心,AC為半徑畫弧交x軸負半軸于點D,連結AD、CD.
(1)求證:△ABC≌△AOD;
(2)設△ACD的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式;
(3)若四邊形ABCD恰有一組對邊平行,求m的值.
【答案】
(1)解:證明:∵A(0,5),B(3,1),
∴AB= =5,
∴AB=OA,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC和Rt△AOD中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△AOD
(2)解:解:過點B作直線BE⊥直線y=﹣m于E,作AF⊥BE于F,如圖,
∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
∴Rt△ABF∽Rt△BCE,
∴ ,即 ,
∴BC= (m+1),
在Rt△ACB中,AC2=AB2+BC2=25+ (m+1)2,
∵△ABC≌△AOD,
∴∠BAC=∠OAD,即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5,
∴∠4=∠5,
而AO=AB,AD=AC,
∴△AOB∽△ACD,
∴ = ,
而S△AOB= ×5×3= ,
∴S= (m+1)2+ (m> )
(3)解:作BH⊥y軸于H,如圖,
當AB∥CD時,則∠ACD=∠CAB,
而△AOB∽△ACD,
∴∠ACD=∠AOB,
∴∠CAB=∠AOB,
而tan∠AOB= =3,tan∠ACB= = = ,
∴ =3,解得m=8;
當AD∥BC,則∠5=∠ACB,
而△AOB∽△ACD,
∴∠4=∠5,
∴∠ACB=∠4,
而tan∠4= ,tan∠ACB= ,
∴ = ,
解得m=3.
綜上所述,m的值為3或8
【解析】(1)由A、B兩點坐標根據勾股定理求出AB的值,根據HL得到Rt△ABC≌Rt△AOD;(2)根據題意得到Rt△ABF∽Rt△BCE,得到比例,求出BC的值,得到△AOB∽△ACD,根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方,求出S關于m的函數(shù)關系式;(3)由△AOB∽△ACD,得到比例,再根據三角函數(shù)值求出m的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識,掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方,以及對銳角三角函數(shù)的定義的理解,了解銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限交于點A(4,3),與y軸的負半軸交于點B,且OA=OB.
(1)求函數(shù)y=kx+b和y= 的表達式;
(2)已知點C(0,5),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點M,使得MB=MC,求此時點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,以CD為公共邊的三角形是____________;∠EFB是____________的內角;在△BCE中,BE所對的角是____________,∠CBE所對的邊是____________;以∠A為公共角的三角形是____________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D為AC上一動點.
(1)如圖1,點E、點F均是射線BD上的點并且滿足AE=AF,∠EAF=90°.求證:△ABE≌△ACF;
(2)在(1)的條件下,求證:CF⊥BD;
(3)由(1)我們知道∠AFB=45°,如圖2,當點D的位置發(fā)生變化時,過點C作CF⊥BD于F,連接AF.那么∠AFB的度數(shù)是否發(fā)生變化?請證明你的結論.
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【題目】中考前的模擬考試對于學生來說具有重大的指導意義,現(xiàn)抽取m名學生的數(shù)學一模成績進行整理分組,形成如下表格(x代表成績,規(guī)定x>140為優(yōu)秀),并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(橫坐標表示成績,單位:分).
A組 | 140<x≤150 |
B組 | 130<x≤140 |
C組 | 120<x≤130 |
D組 | 110<x≤120 |
E組 | 100<x≤110 |
(1)m的值為;扇形統(tǒng)計圖中D組對應的圓心角是°.
(2)若要從成績優(yōu)秀的學生甲、乙、丙、丁中,隨機選出2人介紹經驗,求甲、乙兩人中至少有1人被選中的概率(通過畫樹狀圖或列表法進行分析).
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【題目】如圖,長方形ABCD在坐標平面內,點A的坐標是A(,1),且邊AB,CD與x軸平行,邊AD,BC與y軸平行,AB=4,AD=2.
(1)求B,C,D三點的坐標;
(2)怎樣平移,才能使A點與原點O重合?
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【題目】環(huán)保健康的“共享單車”已成為人們短途出行的一種新方式,一輛新投放市場的單車其先期成本為1050元.如圖是一輛新投放的共享單車其運營收入w1和運營支出w2關于時間m的函數(shù)圖象.
注:一輛單車的盈利=運營收入﹣運營支出﹣先期成本
(1)分別求w1及運營60天后w2關于時間m的函數(shù)關系式.
(2)求一輛新投放市場的單車恰好收回先期成本需要運營多少天?
(3)某公司投放市場一批單車,其先期成本不少于2.1萬元但不超過10.5萬元,經過一段時間的市場試運營共盈利3550元,則該公司試運營的天數(shù)為天(直接寫出答案).
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為x=-1.給出四個結論:①b2 > 4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a < b.其中正確結論有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=120°,OC是∠AOB內部任意一條射線,OD,OE分別是∠AOC,∠BOC的角平分線,下列敘述正確的是( )
A. ∠AOD+∠BOE=60°B. ∠AOD=∠EOC
C. ∠BOE=2∠CODD. ∠DOE的度數(shù)不能確定
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