Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作垂線EF交邊BC，AD分別為點(diǎn)E，F，連接AE，CF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若AD＝8，AB＝4，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）CF＝5.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AD∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出OE=OF，推出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（2）由矩形的性質(zhì)得到∠B

為直角，由（1）得AE＝CE＝CF，設(shè)AE=x,則BE＝8－x，在直角三角形ABE中，利用勾股定理列出等式，求出x即可．

證明：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠AFO＝∠CEO.

∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，

∴AO＝OC.

在△AFO和△CEO中，

,

∴△AFO≌△CEO(AAS)，∴OE＝OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵EF⊥AC，

∴平行四邊形AECF是菱形．

解：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°.

由(1)知四邊形AECF是菱形，

∴設(shè)AE＝CE＝CF＝x.則BE＝8－x.

在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即42＋(8－x)2＝x2，

解得x＝5，

∴CF＝5.