Question

【題目】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚喜的發(fā)現(xiàn)：當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

(1)將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.

(2)請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明.

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°.

求證：a2＋b2＝c2.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和，化簡整理即可得到勾股定理表達式．具體:(1) 連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a,表示出S四邊形ADCB, 兩者相等，整理即可得證; (2)證法(一) 首先連結(jié)BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b-a，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證; 證法二：連接BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證.

(1)證明:連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a.

∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，

又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，

∴b2＋ab＝c2＋a(b－a).

∴a2＋b2＝c2.

(2)證法一：連接BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a.

∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝ab＋b2＋ab，

又∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，

∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，

∴a2＋b2＝c2.

證法二：連接BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a，

∵S五邊形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝b(a＋b)＋ab，

又∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BED＝ab＋c2＋a(b－a)，

∴b(a＋b)＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，

∴a2＋b2＝c2.