Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，PA=PB，且S_△PBC=S_△ABC，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：利用勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得點(diǎn)P到BC的距離等于點(diǎn)A到BC的距離相等，然后分①點(diǎn)A、P在BC的同側(cè)時(shí)，PA∥BC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，然后求出AD的長(zhǎng)，再利用∠PAD的余弦值列式求解即可；②點(diǎn)A、P在BC異側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC相交于點(diǎn)E，先求出PE的長(zhǎng)度，再根據(jù)同角的余角相等求出∠PDE=∠BAC，然后利用∠PDE的余弦值列式求解即可得到PD，在Rt△APD中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵S_△PBC=S_△ABC，
∴點(diǎn)P到BC的距離等于A(yíng)C的長(zhǎng)度，為6，
①如圖1，點(diǎn)A、P在BC的同側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)A、P到BC的距離相等，
∴PA∥BC，
∴∠PAD=∠ABC，
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，
∵PA=PB，
∴AD=AB=×10=5，
∵cos∠PAD==，cos∠ABC===，
∴=，
解得PA=；
②如圖2，點(diǎn)A、P在BC異側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
∵PA=PB，
∴AD=AB=×10=5，
過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC相交于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E到BC的距離為AC=×6=3，
∴PE=3+6=9，
∵∠BAC+∠ADE=90°，∠ADE+∠PDE=90°，
∴∠PDE=∠BAC，
∵cos∠PDE==，cos∠BAC===，
∴=，
解得PD=，
在Rt△APD中，PA===，
綜上所述，PA的長(zhǎng)為或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，三角形的面積勾股定理，銳角三角函數(shù)，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到點(diǎn)A、P到BC的距離相等是解題的關(guān)鍵，要注意分兩種情況討論求解．