Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD和BE是⊙O的兩條切線，A，B為切點，過圓上一點C作⊙O切線CF，分別交AD、BE于點M、N，連接AC、CB、OM、ON．若AB＝2，∠ABC＝30°．給出以下結(jié)論：①△NBC是等邊三角形；②△MON∽△ACB；③AM＝，BN＝；④△AMC的面積與△BNC的面積之比為1：9．其中正確的結(jié)論有： （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

①②③④．

【解析】

試題分析：∵AB是⊙O直徑，BE是⊙O切線，∴∠ABE=90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBN=60°，∵CE=BE，∴△NBC是等邊三角形，∴①正確；

∵△NBC是等邊三角形，∴∠CNO=∠ONB=30°，∴∠EOB=60°，連接OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC為△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵M(jìn)A，MC分別為圓O的切線，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，∵M(jìn)A=MC，OM=OM，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，∴∠MOE=90°，在△MON和△ACB中，∵∠MON=∠ACB=90°，∠CNO=∠CBA=30°，∴△MON∽△ACB，∴②正確；

∵在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即，解得：AM=，BN=OB=，∴③正確；

△AMC的面積=，△BNC的面積=，∴△AMC的面積與△BNC的面積之比=，∴④正確．故答案為：①②③④．

考點：1．切線的性質(zhì)；2．相似三角形的判定；3．解直角三角形．