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【題目】如圖,拋物線y=ax2+6x+cx軸于A,B兩點,交y軸于點C.直線y=x﹣5經過點B,C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)過點A的直線交直線BC于點M.

①當AMBC時,過拋物線上一動點P(不與點B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的橫坐標;

②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB2倍時,請直接寫出點M的坐標.

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5;(2)P點的橫坐標為4;②點M的坐標為(,﹣)或(,﹣).

【解析】(1)利用一次函數解析式確定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系數法求拋物線解析式;

(2)①先解方程-x2+6x-5=0A(1,0),再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,則△AMB為等腰直角三角形,所以AM=2,接著根據平行四邊形的性質得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x軸交直線BCD,如圖1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,設P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5),討論:當P點在直線BC上方時,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;當P點在直線BC下方時,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分別解方程即可得到P點的橫坐標;

②作AN⊥BCN,NH⊥x軸于H,作AC的垂直平分線交BCM1,交ACE,如圖2,利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到∠AM1B=2∠ACB,再確定N(3,-2)

AC的解析式為y=5x-5,E點坐標為(,-),利用兩直線垂直的問題可設直線EM1的解析式為y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-,則解方程組M1點的坐標;作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2,如圖2,利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,設M2(x,x-5),根據中點坐標公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐標,從而得到滿足條件的點M的坐標.

1)當x=0時,y=x5=5,則C0,﹣5),

y=0時,x5=0,解得x=5,則B5,0),

B50),C0,﹣5)代入y=ax2+6x+c

,解得,

∴拋物線解析式為y=x2+6x5;

2)①解方程﹣x2+6x5=0x1=1,x2=5,則A10),

B50),C0,﹣5),

OCB為等腰直角三角形,

∴∠OBC=OCB=45°,

AMBC

∴△AMB為等腰直角三角形,

AM=AB=×4=2,

∵以點A,M,PQ為頂點的四邊形是平行四邊形,AMPQ,

PQ=AM=2,PQBC,

PDx軸交直線BCD,如圖1,則∠PDQ=45°,

PD=PQ=×2=4,

Pm,﹣m2+6m5),則Dmm5),

P點在直線BC上方時,

PD=m2+6m5﹣(m5=m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,

P點在直線BC下方時,

PD=m5﹣(﹣m2+6m5=m25m=4,解得m1=,m2=

綜上所述,P點的橫坐標為4;

②作ANBCN,NHx軸于H,作AC的垂直平分線交BCM1,交ACE,如圖2,

M1A=M1C,

∴∠ACM1=CAM1,

∴∠AM1B=2ACB

∵△ANB為等腰直角三角形,

AH=BH=NH=2

N3,﹣2),

易得AC的解析式為y=5x5,E點坐標為(,﹣,

設直線EM1的解析式為y=x+b

E,﹣)代入得﹣+b=,解得b=,

∴直線EM1的解析式為y=x

解方程組,則M1,﹣);

作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2,如圖2,則∠AM2C=AM1B=2ACB,

M2x,x5),

3=

x=,

M2,﹣.

綜上所述,點M的坐標為(,﹣)或(,﹣).

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