【題目】一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:
如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC于點O,點P、D分別在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于點E,求證:△BPO≌△PDE.
(1)理清思路完成解答
本題證明的思路可用下列框圖表示:
根據(jù)上述思路,請你完整地書寫本題的證明過程.
(2)若PB平分∠ABO,其余條件不變.求證:AP=CD.
(3)知識遷移,探索新知
若點P是一個動點,點P運動到OC的中點P′時,滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′,請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)
【答案】
(1)
證明:∵PB=PD,
∴∠2=∠PBD,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,
∴∠1=45°,
∴∠1=∠C=45°,
∵∠3=∠PBC﹣∠1,∠4=∠2﹣∠C,
∴∠3=∠4,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BOP=∠PED=90°,
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE(AAS)
(2)
證明:由(1)可得:∠3=∠4,
∵BP平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,
∴∠ABP=∠4,
在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD(AAS),
∴AP=CD
(3)
解:CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′.
理由是:設(shè)OP=PC=x,則AO=OC=2x=BO,
則AP=2x+x=3x,
由△OBP≌△EPD,得BO=PE,
PE=2x,CE=2x﹣x=x,
∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°,
∴DE=x,由勾股定理得:CD= x,
即AP=3x,CD= x,
∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′
【解析】(1)求出∠3=∠4,∠BOP=∠PED=90°,根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可;
(2)求出∠ABP=∠4,求出△ABP≌△CPD,即可得出答案;(3)設(shè)OP=CP=x,求出AP=3x,CD= x,即可得出答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本學(xué)期開學(xué)初,學(xué)校體育組對九年級某班50名學(xué)生進行了跳繩項目的測試,根據(jù)測試成績制作了下面兩個統(tǒng)計圖.
根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次測試的學(xué)生中,得4分的學(xué)生有多少人?
(2)本次測試的平均分是多少分?
(3)通過一段時間的訓(xùn)練,體育組對該班學(xué)生的跳繩項目進行第二次測試,測得成績的最低分為3分,且得4分和5分的人數(shù)共有45人,平均分比第一次提高了0.8分,問第二次測試中得4分、5分的學(xué)生各有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在做課本“目標與評定”中的一道題:如圖1,直線a,b所成的角跑到畫板外面去了,你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)?小明的做法是:如圖2,畫PC∥a,量出直線b與PC的夾角度數(shù),即直線a,b所成角的度數(shù).
(1)請寫出這種做法的理由;
(2)小明在此基礎(chǔ)上又進行了如下操作和探究(如圖3):①以P為圓心,任意長為半徑畫圓弧,分別交直線b,PC于點A,D;②連結(jié)AD并延長交直線a于點B,請寫出圖3中所有與∠PAB相等的角,并說明理由;
(3)請在圖3畫板內(nèi)作出“直線a,b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線(畫板內(nèi)的部分),只要求作出圖形,并保留作圖痕跡.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2= 的圖象相交于點A(2,3)和點B,與x軸相交于點C(8,0).
(1)求這兩個函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)x取何值時,y1>y2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在10×10的網(wǎng)格中,每個小方格都是邊長為1的小正方形,每個小正方形的頂點稱為格點.若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點,則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點三角形”.以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系,若拋物線與網(wǎng)格對角線OB的兩個交點之間的距離為 ,且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內(nèi)接格點三角形的三個頂點,則滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是( )
A.16
B.15
C.14
D.13
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,點A、D、B、E在同一直線上,AC=EF,AD=BE,∠A=∠E,
(1)求證:△ABC≌△EDF;
(2)當(dāng)∠CHD=120°,猜想△HDB的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC面積為1,第一次操作:分別延長AB,BC,CA至點A1,B1,C1,使A1B=AB、B1C=2BC,C1A=2CA,順次連接A1,B1,C1,得到△A1B1C1.第二次操作:分別延長A1B1,B1C1、C1A1至點A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1 ,順次連接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,…按此規(guī)律,經(jīng)過2015次操作后△A2015B2015C2015的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且BC=CD=2,AB=3,把梯形ABCD分別繞直線AB,CD旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的表面積分別為S1 , S2 , 則|S1﹣S2|=(平方單位)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是邊AD的中點,EC交對角線于點F,若S△DEC=9,則S△BCF=( )
A.6
B.8
C.10
D.12
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