Question

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當(dāng)點C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AA₁，CC₁．若△CBC₁的面積為3，求△ABA₁的面積；
（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點P的對應(yīng)點是點P₁，直接寫出線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=30°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易證得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA₁的面積；
（3）由①當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最��；②當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，即可求得線段EP₁長度的最大值與最小值．

解答：解：（1）如圖1，依題意得：△A₁C₁B≌△ACB．
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°．
∴∠BC₁C=∠C=30°．
∴∠CC₁A₁=60°；

（2）如圖2，由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB．
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC．
∴∠ABA₁=∠CBC₁，

A1B

C1B

=

AB

BC

=

4

6

=

2

3

∴△A₁BA∽△C₁BC  
∴

S△A1BA

S△C1BC

=(

2

3

)2=

4

9

∵S△C1BC=3，
∴S△A1BA=

4

3

；

（3）線段EP₁長度的最大值為8，EP₁長度的最小值1．
解題過程如下：①如圖a，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6×

1

2

=3，
當(dāng)P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=3-2=1；
②當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=6+2=8．
綜上所述，線段EP₁長度的最大值為8，EP₁長度的最小值1．

點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系．