【題目】如圖,拋物線 與x軸相交于點A、B,與y軸相交于點C,拋物線對稱軸與x軸相交于點M,
(1)求△ABC的面積;
(2)若p是x軸上方的拋物線上的一個動點,求點P到直線BC的距離的最大值;
(3)若點P在拋物線上運動(點P異于點A),當(dāng)∠PCB=∠BCA時,求直線PC的解析式.
【答案】
(1)
解:令y=0,則有﹣ x2+4x﹣6=﹣ (x﹣2)(x﹣6)=0,
解得:x1=2,x2=6,
即點A(2,0),點B(6,0).
令x=0,則y=﹣6,
即點C(0,6).
∴AB=4,CO=6.
△ABC的面積S△ABC= ABCO= ×4×6=12
(2)
解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
∵點B(6,0),點C(0,﹣6),
∴有 ,解得 ,
∴直線BC的解析式為y=x﹣6.
設(shè)經(jīng)過動點P且平行于直線BC的直線解析式為y1=x+a.
將y1=x+a代入拋物線y=﹣ x2+4x﹣6中得: x2﹣3x+6+a=0,
若直線y1=x+a與拋物線相切,則有:
△=(﹣3)2﹣4× ×(6+a)=0,即3+2a=0,
解得:a=﹣ .
∴ ﹣3x+6﹣ =0,即x2﹣6x+9=0,
解得:x=3,
將x=3代入y1=x﹣ ,得y1= ,
∴此時P點坐標(biāo)為(3, )在x軸上方.
∵直線BC的解析式為x﹣y﹣6=0,
∴點P到直線BC的距離= = .
故點P到直線BC的距離的最大值為
(3)
解:過點A作AE⊥BC與點E,并延長AE交直線CP與點D,如圖所示.
∵點A(2,0),點B(6,0),點O(0,0),點C(0,﹣6),
∴AB=4,OA=2,OC=6,OB=6.
由勾股定理可知:AC= =2 ,BC= =6 ,
∴sin∠OBC= = = ,AE=2 .
∵∠PCB=∠ACB,且BC⊥AD,
∴CD=CA=2 ,DE=AE=2 (等腰三角形三線合一),
∴AD=AE+DE=4 .
設(shè)點D坐標(biāo)為(m,n),
則由兩點間的距離公式可知,
,解得 (舍去)或 .
即此時點D的坐標(biāo)為(6,﹣4).
設(shè)直線CP的解析式為y=k1x﹣6,將D點坐標(biāo)代入得:
﹣4=6k1﹣6,解得:k1= .
∴若點P在拋物線上運動(點P異于點A),當(dāng)∠PCB=∠BCA時,直線PC的解析式為y= x﹣6.
【解析】(1)令x=0,可得點C坐標(biāo),令y=0,可得點A、B坐標(biāo),再結(jié)合三角形面積公式,即可得出結(jié)論;(2)找與直線BC平行且過動點P的直線,令此直線與拋物線相切,看切點P是否在x軸上方,如果在,則切點P到直線BC的距離就是所求最大距離,若不在,只需考慮端點A、B到直線BC的距離即可;(3)過點A作AE⊥BC與點E,并延長AE交直線CP與點D,巧妙利用等腰三角形的三線合一,找出AD、CD的長度,根據(jù)兩點間的距離公式即可得出結(jié)論,不過此處要注意到會產(chǎn)生增根.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A(﹣1,0),C(1,4),點B在x軸上,且AB=4.
(1)求點B的坐標(biāo),并畫出△ABC;
(2)求△ABC的面積;
(3)在y軸上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形的面積為10?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,延長CB至M,使BM=2,連接AM,BN⊥AM于N,O是AC、BD的交點,連接ON,則ON的長為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC,E是AB的中點,CE⊥BD.
(1)求證:BE=AD;
(2)求證:AC是線段ED的垂直平分線;
(3)△DBC是等腰三角形嗎?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時,∠ECF的度數(shù)為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,下列結(jié)論:①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4;②4a+2b+c<0;③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1;④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0.其中正確的結(jié)論有(填上序號即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點,要判定四邊形DBFE是菱形,下列所添加條件不正確的是( 。
A. AB=AC B. AB=BC C. BE平分∠ABC D. EF=CF
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