Question

如圖，△ABC內(nèi)接于O⊙，AB為⊙O直徑，CD平分∠ACB交⊙O于D，CD與AB交于點(diǎn)E，連接AD、BD．
（1）求證：AB=

2

AD；
（2）若AB=8，AE=2，求CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACB=∠DCB，進(jìn)而可得AD=BD，再根據(jù)勾股定理可得AB²=AD²+BD²，進(jìn)而可得AB=

2

AD；
（2）連接DO，根據(jù)AO、BO、DO都是⊙O的半徑，可得AO=BO=DO=

1

2

AB=4，再根據(jù)AD=BD利用等腰三角形的性質(zhì)可得DO⊥AB，進(jìn)而可得EO和DE，得出△ADE∽△CBE，求出CE的長度即可．

解答：（1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=∠DCB，
∴AD=BD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
∴AB=

2

AD；

（2）解：連接DO，
∵AO、BO、DO都是⊙O的半徑，
∴AO=BO=DO=

1

2

AB=4，
∵AD=BD，
∴DO⊥AB，
在Rt△DOE中，OE=AO-AE=2，DE=

OE2+DO2

=2

5

，
∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠DCB，
∴△ADE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

DE

BE

，
∵BE=BO+EO=6，
∴CE=

6

5

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．