Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+k²+1=0
（1）k取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？
（2）如果方程的兩個實數(shù)根x₁、x₂（x₁＜x₂）滿足x₁+|x₂|=3，求k的值和方程的兩根．

Answer 1

解：（1）在已知一元二次方程中，
a=1，b=-（k+2），c=（k²+1），
又由△=b²-4ac
=[-（k+2）]²-4（k²+1）
=k²+4k+4-k²-4=4k＞0，
得k＞0，
即k＞0時方程有兩個不相等的實數(shù)根；
〖無、所在行之中間步驟，即跳過此步不扣分，余同〗

（2）法一：由，
∵x₁＜x₂，k＞0，
∴＞0
∴|x₂|=x₂．
由x₁+|x₂|=3，得x₁+x₂=3，
由根與系數(shù)關(guān)得k+2=3．
即k=1
此時，原方程化為x²-3x+=0，
解此方程得，x₁=，x₂=，
法二：由x₁x₂=k²+1＞0，
又∵k＞0，
∴x₁+x₂=k+2＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0；
∴|x₂|=x₂．
下同法一．
分析：（1）由于方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以方程的判別式是正數(shù)，一次即可確定k的取值范圍；
（2）由于方程的兩個實數(shù)根x₁、x₂（x₁＜x₂）滿足x₁+|x₂|=3，通過分類討論去掉絕對值的符號，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出k的值和方程的兩個根．
點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關(guān)系．