Question

【題目】如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=7，AB=CD=15，BC=25，E為腰AB上一點(diǎn)且AE：BE=1：2，F(xiàn)為BC一動(dòng)點(diǎn)，∠FEG=∠B，EG交射線BC于G，直線EG交射線CA于H．

（1）求sin∠ABC；

（2）求∠BAC的度數(shù)；

（3）設(shè)BF=x，CH=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域．

Answer 1

【答案】（1）sin∠ABC=；（2）∠BAC=90°；（3）y=20﹣（8＜x＜25）

【解析】分析：（1）先求出BP=9，再根據(jù)勾股定理得，AP=12，即可得出結(jié)論，
（2）先求出CP=16，再根據(jù)勾股定理得，AC2=400，進(jìn)而判斷出△ABC是直角三角形，即可得出結(jié)論；
（3）先求出AE=5，BE=10，進(jìn)而求出EM=8，BM=6，再分兩種情況討論，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長線上時(shí)，判斷出△EFM∽△HEA，得出，即可得出結(jié)論；
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，同Ⅰ的方法即可得出結(jié)論．

詳解：

（1）如圖1，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴BP=（BC﹣AD）=9，

在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理得，AP=12，

∴sin∠ABC=；

（2）如圖1，在Rt△ACP中，CP=BC﹣BP=16，

根據(jù)勾股定理得，AC2=AP2+CP2=144+256=400，

∵AB=15，BC=25，

∴AB2+AC2=225+400=625=252=BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°；

（3）過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，

∵AB=15，AE：BE=1：2，

∴AE=5，BE=10，

在Rt△BEM中，sin∠ABC=，

∴EM=8，BM=6，CM=BC﹣BM=25﹣6=19，

當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)C重合時(shí)，如圖4，

在Rt△EMC中，CE=

∵∠B=∠EFC，∠BCE=∠ECF，

∴△BCE∽△ECF，

∴ ，

∴ ，

∴x=8，

當(dāng)EG∥AC時(shí)，如圖5，

∴∠ACB=∠EGB，

∵∠B+∠ACB=90°，

∴∠FEG+∠EGB=90°，

∴EF⊥BC，

即：點(diǎn)F和點(diǎn)M重合，

∴BF=BM=6，

∴當(dāng)6≤x≤8時(shí)，EG和AC的延長線相交，不符合題意，

Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長線上時(shí)，

如圖2，

∴FM=BF﹣BM=x﹣6，

由（1）知，AC=20，

∴AH=AC﹣CH=20﹣y

∵∠FEG=∠B

∴∠EFG=180°﹣∠G﹣∠FEG=180°﹣∠G﹣∠B，

∵∠BEG=180°﹣∠G﹣∠B，

∴∠EFG=∠BEG，

∴∠EFM=∠AEH，

∵∠EMF=∠HAE=90°，

∴△EFM∽△HEA，

∴，

∴，

∴y=20﹣（8＜x＜25），

Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，如圖3，

∴FM=BM﹣BF=6﹣x，AH=CH﹣AC=y﹣20，

∵同①的方法得，∠EFG=∠BEG，

∵∠AEH=∠BEG，

∴∠AEH=∠EFG，

∵∠EAH=∠FME，

∴△AEH∽△MFE，

∴，

∴，

∴y=20+=20﹣（0＜x＜6）．

∴y=20﹣（8＜x＜25）．