Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延長線相交于G．CE⊥AG于E，CF⊥AB于F．
（1）寫出圖中5組相等的線段（已知的相等線段除外）；
（2）選擇（1）中所寫出的一組相等線段，說明它們相等的理由．

Answer 1

解：（1）5組相等的線段有：CE=CF，DE=BF，AE=AB，GA=GB，DG=CG；

（2）證明：①∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CE⊥AG，CF⊥AB，
∴CE=CF，
②在Rt△CDE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BCF（HL），
∴DE=BF，
③同理：Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE=AF，
④∵梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，
∴∠GAB=∠GBA，
∴AG=BG，
⑤∵AD=BC，
∴DG=CG．
分析：（1）利用等腰梯形、等腰三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，可得圖中5組相等的線段有：CE=CF，DE=BF，AE=AB，GA=GB，DG=CG；
（2）根據(jù)等腰三角形與平行線的性質(zhì)，易得AC是∠DAB的角的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CE=CF，易證得Rt△CDE≌Rt△BCF與Rt△ACE≌Rt△ACF，則可得DE=BF，AE=AF，由等腰梯形的性質(zhì)，可得∠GAB=∠GBA，即可得AG=BG，繼而可得DG=CG．
點評：此題考查等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．