Question

如圖，已知點C為線段AB上一點，△ACM、△BCN是等邊三角形．
（1）求證：AN=BM；
（2）求∠NOB的度數(shù)．
（3）若把原題中“△ACM和△BCN是兩個等邊三角形”換成兩個正方形（如圖），AN與BM的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ACN，△MCB兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，兩個三角形全等，得出線段AN與線段BM相等．
（2）設(shè)BM和AN相交于O，由∠BON=∠AOM=∠NAB+∠ABM=∠CMB+∠CBM=∠ACM而得出結(jié)論．
（3）若把原題中“△ACM和△BCN是兩個等邊三角形”換成兩個正方形，則AN=BM，證明△ACN≌△MCB即可．

解答：（1）證明：
∵△ACM、△CBN都是等邊三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中

AC=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；
（2）∵∠BON=∠AOM，且∠AOM=∠NAB+∠ABM，
∴∠BON=∠NAB+∠ABM．
∴∠BON=∠CMB+∠ABM．
∵∠CMB+∠ABM=∠ACM=60°，
∴∠BON=60°．
（3）AN=BM，
理由如下：
∵四邊形AFMC和四邊形NCBF是正方形，
∴AC=CM，∠ACN=∠MCB=90°，CN=CB，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB=90° CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等邊三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行線的判定，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．