Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（　　）

A. π B. C. 2 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

取AB的中點(diǎn)O、AE的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，則，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計(jì)算點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長．

取AB的中點(diǎn)O、AE的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴，
∴，，
∵M為PC的中點(diǎn)，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴點(diǎn)M在以PC為直徑的圓上，
點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=，
∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長=．
故選B．