Question

（2013•桂林）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．
（1）求證：點(diǎn)D在⊙O上；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由DO為直角三角形斜邊上的中線，得到OD=OA=OE，可得出點(diǎn)D在圓O上；
（2）由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OD=OA，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角，即BC與OD垂直，即可確定出BC為圓O的切線；
（3）過(guò)E作EH垂直于BC，由OD與AC平行，得到△ACB與△ODB相似，設(shè)OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD與BE的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出BD的長(zhǎng)，再由△BEH與△ODB相似，由相似得比例求出EH的長(zhǎng)，△BED以BD為底，EH為高，求出面積即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE，
∴點(diǎn)D在⊙O上；

（2）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=10，
設(shè)OD=OA=OE=x，則OB=10-x，
∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，
∴

OD

AC

=

BO

BA

=

BD

BC

，即

x

6

=

10-x

10

，
解得：x=

15

4

，
∴OD=

15

4

，BE=10-2x=10-

15

2

=

5

2

，
∵

OD

AC

=

BD

BC

，即

15 4

6

=

BD

8

，
∴BD=5，
過(guò)E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD，
∴

BE

BO

=

EH

OD

，即

5 2

25 4

=

EH

15 4

，
∴EH=

3

2

，
∴S_△BDE=

1

2

BD•EH=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．