Question

如圖，菱形ABCD中，AB=10，BG⊥AD于G，BG=8，點E在AB上，AE=4，過點E作EF∥AD，交CD于F，點P從點A出發(fā)以1個單位/s的速度沿著線段AB向終點B運動，同時點Q從點E出發(fā)也以1個單位/s的速度沿著線段EF向終點F運動，設運動時間為t（s）．
（1）填空：當t=5時，PQ=

 

；
（2）當BQ平分∠ABC時，直線PQ將菱形的周長分成兩部分，求這兩部分的比．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）當t=5時，AP=5，EQ=5，過Q點作QH⊥AB于H，如圖1，在Rt△ABG中利用勾股定理計算出AG=6，再證明Rt△EHQ∽Rt△AGB，利用相似比可計算出EH=3，HQ=4，則PH=2，然后在Rt△QPH中，根據勾股定理可計算出PQ；
（2）根據菱形的性質，當BQ平分∠ABC時，則點Q為BD與EF的交點，如圖2，直線PQ交CD與M，先證明△BEQ∽△BAD，利用相似比計算出EG=6，則AP=6，BP=4；
∵再根據平行線分線段乘比例定理，由EQ∥AD得到

BQ

QD

=

BE

AE

=

3

2

，接著證明△QBP∽△QDM，利用相似比求出DM=

8

3

，然后利用菱形的性質可得到AD=CD=BC=10，
則CM=CD-DM=

22

3

，再計算直線PQ將菱形的周長分成兩部分的長，最后計算它們的比值．

解答：解：（1）當t=5時，AP=5，EQ=5，
過Q點作QH⊥AB于H，如圖1，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，∵AB=10，BG=8，
∴AG=

AB2-BG2

=6，
∵EF∥AD．
∴∠HEQ=∠A，
∴Rt△EHQ∽Rt△AGB，
∴

EH

AG

=

HQ

BG

=

EQ

AB

，即

EH

6

=

HQ

8

=

5

10

，
∴EH=3，HQ=4，
∴PH=AH-AP=AE+EP-AP=4+3-5=2，
在Rt△QPH中，PQ=

PH2+QH2

=2

5

；
故答案為2

5

；
（2）∵BQ平分∠ABC，
而四邊形ABCD為菱形，
∴點Q為BD與EF的交點，如圖2，直線PQ交CD與M，
∵EQ∥AD，
∴△BEQ∽△BAD，
∴

EQ

AD

=

BE

BA

，即

EQ

10

=

6

10

，解得EQ=6，
∴AP=6，
∴BP=4，
∵EQ∥AD，
∴

BQ

QD

=

BE

AE

=

6

4

=

3

2

，
∵BP∥DM，
∴△QBP∽△QDM，
∴

BP

DM

=

BQ

DQ

，即

4

DM

=

3

2

，解得DM=

8

3

，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=CD=BC=10，
∴CM=CD-DM=

22

3

，
∴AP+AD+DM=6+10+

8

3

=

56

3

，BP+BC+CM=4+10+

22

3

=

64

3

，
∴直線PQ把菱形的周長分得的兩部分的比=

56 3

64 3

=

7

8

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握菱形的性質；會運用勾股定理和相似比計算線段的長；學會解決有關動點的問題．