Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACB的平分線交AB于點D，交⊙O于點E，過點C作⊙O的切線CP交BA的延長線于點P，連接AE．

（1）求證：PC=PD；

（2）若AC=5cm，BC=12cm，求線段AE，CE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) EC= AE=

【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接OC、OE．利用等角的余角相等，證明∠PCD=∠PDC即可；

（2）如圖2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先證明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，設(shè)AF=BH=x，再證明四邊形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=，延長即可解決問題；

試題解析：（1）證明：如圖1中，連接OC、OE．

∵AB 直徑，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴=，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．

（2）如圖2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．

∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵=，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，設(shè)AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四邊形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四邊形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x=，∴CF=FE=，∴EC=CF=，AE===．