【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,點E是直線AC上一動點,連接DE,過點D作FD⊥ED,交直線BC于點F.
(1)如圖1,當點E在線段AC上時,求證:△DEC∽△DFB.
(2)當點E在線段AC的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請結(jié)合圖2給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)若AC=,BC=2,DF=4,請直接寫出CE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)成立,理由見解析;(3)CE=2或CE=.
【解析】
(1)首先證明∠ACD=∠B,∠EDC=∠BDF,得到△DEC∽△DFB.
(2)方法和(1)一樣,首先證明∠ACD=∠B,∠EDC=∠BDF,得到△DEC∽△DFB.
(3)由(2)的結(jié)論得出△ADE∽△CDF,判斷出CF=2AE,求出EF,再利用勾股定理,分三種情形分別求解即可.
(1)證明:如圖1中,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠CDB=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
∴△DEC∽△DFB.
(2)結(jié)論成立.
理由:如圖2中,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,
∴∠ACD=∠B,
∴∠DCE=∠A+90°,
∠DBF=∠A+90°,,
∴∠DCE=∠DBF,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠CDB=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
∴△DEC∽△DFB.
(3)∵∠ACD=∠B,∠ADC=∠BDC,
∴△ADC∽△CDB
∴==,
由(2)有,△CDE∽△BDF,
∵==,
∴===,
∴CF=2AE,
在Rt△DEF中,DE=2,DF=4,
∴EF===2,
①當E在線段AC上時,在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC﹣CE)=2(﹣CE),EF=2,
根據(jù)勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(﹣CE)]2=40
∴CE=2,或CE=﹣(舍)
而AC=<CE,
∴此種情況不存在,
②當E在AC延長線上時,
在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC+CE)=2(+CE),EF=2,
根據(jù)勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(+CE)]2=40,
∴CE=,或CE=﹣2(舍),
③如圖3中,當點E在CA延長線上時,
CF=2AE=2(CE﹣AC)=2(CE﹣),EF=2,
根據(jù)勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(CE﹣)]2=40,
∴CE=2,或CE=﹣(舍)
即:CE=2或CE=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,△ABO的邊AB垂直于x軸,垂足為點B,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點C,交AB于點D,且AD=3.
(1)設(shè)點A的坐標為(4,4)則點C的坐標為 ;
(2)若點D的坐標為(4,n).
①求反比例函數(shù)y=的表達式;
②求經(jīng)過C,D兩點的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點E是線段CD上的動點(不與點C,D重合),過點E且平行y軸的直線l與反比例函數(shù)的圖象交于點F,求△OEF面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示,則下列命題中正確的是( )
A. a >b>c
B. 一次函數(shù)y=ax +c的圖象不經(jīng)第四象限
C. m(am+b)+b<a(m是任意實數(shù))
D. 3b+2c>0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點C(0,3),頂點為G.
(1)求拋物線和直線AC的解析式;
(2)如圖,設(shè)E(m,0)為x軸上一動點,若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO,求點E的坐標;
(3)如圖,設(shè)點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動,運動時間為ts,點M為射線AC上一動點,過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點N.試探究點P在運動過程中,是否存在以P,M,N為頂點的三角形為等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=8,AC=16,點P從點A出發(fā),沿AB方向以每秒2個長度單位的速度向點B運動:同時點Q從點C出發(fā),沿CA方向以每秒3個長度單位的速度向點A運動,其中一點到達終點,則另一點也隨之停止運動,當△ABC與以A、P、Q為頂點的三角形相似時,運動時間為______秒.
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A,B,與軸交于點C。過點C作CD∥x軸,交拋物線的對稱軸于點D,連結(jié)BD。已知點A坐標為(-1,0)。
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求梯形COBD的面積。
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【題目】某商場銷售一批襯衫,平均每天可售出件,每件盈利元.為了擴大銷售,增加盈利,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在一定范圍內(nèi),襯衫的單價每下降元,商場平均每天可多售出件.
如果商場通過銷售這批襯衫每天獲利元,那么襯衫的單價應(yīng)下降多少元?
當每件襯衫的單價下降多少元時,每天通過銷售襯衫獲得的利潤最大?最大利潤為多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點.過動點作平行于軸的直線,直線與拋物線相交于點,.線段的中點為.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若,且點到軸的距離正好等于時,求的值;
(3)直線上是否存在一點,使得是以為直角邊的等腰直角三角形?若存在,直接寫出的值;若不存在,請說明理由.
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