Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax²＋bx＋c的對稱軸為x＝2，且經(jīng)過B(0，4)，C(5，9)，直線BC與x軸交于點(diǎn)A．

(1)求出直線BC及拋物線的解析式．

(2)D(1，y)在拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在兩點(diǎn)M、N，且MN＝2，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，使得四邊形BDNM的周長最小，若存在，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

(3)現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P，請找出拋物線上所有滿足到直線BC距離為的點(diǎn)P．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)BC直線解析式：y＝kx＋b 　　根據(jù)題意得：　解得 　　直線BC的解析式為：y＝x＋4　1分 　　∵拋物線的對稱軸為x＝2 　　設(shè)拋物線的解析式為， 　　根據(jù)題意得 　　　解得： 　　拋物線的解析式為　2分 　　(2)∵若四邊形BDNM的周長最短，求出BM＋DN最短即可 　　∵點(diǎn)D拋物線上，∴D(1，1)∴D點(diǎn)關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)是D1(3，1) 　　∵B(0，4)∴將B點(diǎn)向下平移2個單位得到B1(0，2)　3分 　　∴直線B1D1交直線x＝2于點(diǎn)N， 　　∵直線B1D1的解析式為：　4分 　　∴N 　　∵M(jìn)N＝2　∴M　5分 　　(3)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P，設(shè)P到直線BC的距離為h， 　　故P點(diǎn)應(yīng)在與直線BC平行，且相距的上下兩條平行直線l1和l2上．　6分 　　由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為． 　　如圖，設(shè)l1與y軸交于E點(diǎn)，過E作EF⊥BC于F點(diǎn)， 　　在Rt△BEF中，， 　　∴BE＝6．∴可以求得直線l1與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，10) 　　同理可求得直線l2與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)　7分 　　∴兩直線解析式；． 　　根據(jù)題意列出方程組：(1)； 　　(2) 　　∴解得：；；； 　　∴滿足條件的點(diǎn)P有四個，它們分別是P1(6，16)，P2(－1，9)，P3(2，0)，P4(3，1)　8分