【題目】如圖,ABC中,BAC=90°AB=AC=1,點(diǎn)DBC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),在AC上取E點(diǎn),使ADE=45度.

1)求證:ABD∽△DCE;

2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

3)當(dāng):ADE是等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).

【答案】1)見(jiàn)解析;(2y=x2x+13AE的長(zhǎng)為2﹣

【解析】

試題分析:此題有三問(wèn),(1)證明ABD∽△DCE,已經(jīng)有B=C,只需要再找一對(duì)角相等就可以了;

2)由(1)證得ABD∽△DCE,有相似就線段成比例,于是利用(1)的結(jié)果可證得(2);

3)當(dāng)ABD∽△DCE時(shí),可能是DA=DE,也可能是ED=EA,所以要分兩種情況證明結(jié)論.

1)證明:∵△ABC中,BAC=90°,AB=AC=1,

∴∠ABC=ACB=45°

∵∠ADE=45°,

∴∠BDA+CDE=135°

BDA+BAD=135°,

∴∠BAD=CDE

∴△ABD∽△DCE

2)解:∵△ABD∽△DCE

;

BD=x

CD=BC﹣BD=﹣x

,

CE=x﹣x2

AE=AC﹣CE=1﹣x﹣x2=x2x+1

y=x2x+1

3)解:DAEBAC=90°,ADE=45°,

當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí),第一種可能是AD=DE

∵△ABD∽△DCE,

∴△ABD≌△DCE

CD=AB=1

BD=﹣1

BD=CE

AE=AC﹣CE=2﹣

當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí),第二種可能是ED=EA

∵∠ADE=45°,

此時(shí)有DEA=90°

ADE為等腰直角三角形.

AE=DE=AC=

當(dāng)AD=EA時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,不合題意,所以舍去,

因此AE的長(zhǎng)為2﹣

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