Question

如圖，一次函數(shù)y=2x-2的圖象與x軸、y軸分別相交于B、A兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M（3，m）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥PM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把M（3，m）代入y=2x-2求出m，確定M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式；
（2）先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），再根據(jù)勾股定理計算出AB=

5

；根據(jù)M點(diǎn)坐標(biāo)得到MC=4，BC=2，則利用勾股定理可計算出BM=2

5

，然后證明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比計算出BP，于是可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把M（3，m）代入y=2x-2得m=2×3-2=4，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
把M（3，4）代入y=

k

x

得k=3×4=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

；

（2）存在．
作MC⊥x軸于C，如圖，
把x=0代入y=2x-2得y=-2；把y=0代入y=2x-2得2x-2=0，解得x=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴OA=2，OB=1，
在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

5

，
∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴MC=4，BC=3-1=2，
在Rt△MBC中，MB=

MC2+BC2

=2

5

，
∵M(jìn)A⊥MB，
∴∠BMP=90°，
而∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴

AB

BP

=

OB

MB

，即

5

BP

=

1

2 5

，
∴BP=10，
∴OP=11，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，0）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算．