【題目】(1)【證法回顧】證明:三角形中位線定理.
已知:如圖1,DE是△ABC的中位線.
求證: .
證明:添加輔助線:如圖1,在△ABC中,延長DE (D、E分別是AB、AC的中點)到點F,使得EF=DE,連接CF;
請繼續(xù)完成證明過程:
(2)【問題解決】
如圖2,在正方形ABCD中,E為AD的中點,G、F分別為AB、CD邊上的點,若AG=2,DF=3,∠GEF=90°,求GF的長.
(3)【拓展研究】
如圖3,在四邊形ABCD中,∠A=105°,∠D=120°,E為AD的中點,G、F分別為AB、CD邊上的點,若AG=,DF=2,∠GEF=90°,求GF的長.
【答案】(1)DE∥BC,DE=BC,證明見解析;(2)5; (3) .
【解析】(1)分析:根據(jù)三角形的中位線定理填寫即可;利用“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠ECF,全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CF,然后求出四邊形BCFD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可.(2)由,正方形性質(zhì)及E為AD 中點得出△ADE≌△CFE,由全等三角形推出,EF垂直平分GH,從而求解.(3) 過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H,過H作CD的垂線,垂足為P,連接HF,可證明△AEG≌△DEH,結(jié)合條件可得到△HPD為等腰直角三角形,可求得PF的長,在Rt△HFP中,可求得HF,則可求得GF的長.
(1)DE∥BC,DE=BC
證明:在△ADE和△CFE中, ,∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴∠A=∠ECF,AD=CF,∴CF∥AB,又∵AD=BD,∴CF=BD,
∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DE∥BC,DE=BC.
(2)如圖2,延長GE、FD交于點H,
∵E為AD中點,
∴EA=ED,且∠A=∠EDH=90°,
在△AEG和△DEH中
∴△AEG≌△DEH(ASA),
∴AG=HD=2,EG=EH,∵∠GEF=90°,∴EF垂直平分GH,
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5;
(3)如圖3,過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H,過H作CD的垂線,垂足為P,連接HF,
同(1)可知△AEG≌△DEH,GF=HF,∴∠A=∠HDE=105°,AG=HD=,
∵∠ADC=120°,∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°,
∴∠HDP=45°,∴△PDH為等腰直角三角形,
∴PD=PH=3,∴PF=PD+DF=3+2=5,
在Rt△HFP中,∠HPF=90°,HP=3,PF=5,
∴HF= == ∴GF=.
點睛;本題考查了四邊形的綜合應(yīng)用,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理;本題考查知識點較多綜合性較強,難度較大.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】考試前,同學(xué)們總會采用各種方式緩解考試壓力,以最佳狀態(tài)迎接考試.某校對該校九年級的部分同學(xué)做了一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動,學(xué)校將減壓方式分為五類,同學(xué)們可根據(jù)自己的情況必選且只選其中一類.?dāng)?shù)據(jù)收集整理后,繪制了圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題:
(1)請通過計算,補全條形統(tǒng)計圖;
(2)請直接寫出扇形統(tǒng)計圖中“享受美食”所對應(yīng)圓心角的度數(shù)為 ;
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,可估計出該校九年級學(xué)生中減壓方式的眾數(shù)和中位數(shù)分別是 , .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國際足球比賽對足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的要求,比賽所用足球上標(biāo)有:430±20(g).請問:
(1)比賽所用足球的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是多少?符合比賽所用足球質(zhì)量的合格范圍是多少?
(2)組委會隨機抽查了8只足球的質(zhì)量,高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記為正,低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記為負,結(jié)果分別是:﹣15g,+12g,﹣24g,﹣6g,+13g,﹣5g,+22g,﹣9g,求這8只足球質(zhì)量的合格率.
(足球質(zhì)量的合格率=)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,E是BC邊的中點,連接DE并延長,交AB的延長線于F點,AB=BF,請你添加一個條件(不需再添加任何線段或字母),使之能推出四邊形ABCD為平行四邊形,請證明.你添加的條件是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小麗一家利用元旦三天駕車到某景點旅游.小汽車出發(fā)前油箱有油36L,行駛ah后,途中在加油站加油若干bL.油箱中余油量Q(L)與行駛時間t(h)之間的關(guān)系如圖所示.根據(jù)圖象回答下列問題:
①小汽車行駛________h后加油, 中途加油__________L;
②求加油前油箱余油量Q與行駛時間t的函數(shù)關(guān)系式;
③如果加油站距景點200km,車速為80km/h,要到達目的
地,油箱中的油是否夠用?請說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+3分別交x軸、y軸與C、A兩點,點B是x軸上一點,且橫坐標(biāo)為2,在OA上取一點H,使得OH=OB.
(1) 求點C的坐標(biāo).
(2) 求CH所在直線的表達式.
(3) 若點P在直線CH上運動,是否存在一點P,使得△PBC的面積是△AHB面積的,若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)先觀察下列等式,再完成題后問題:
,,
①請你猜想:=________.
②若a、b為有理數(shù),且,
求:+…+的值.
(2)探究并計算:+++…+
(3)如圖,把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形,接著把面積為的長方形等分成兩個面積為的正方形,再把面積為的正方形等分成兩個面積為的矩形.如此進行下去,試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計算:++++++.(直接寫答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是將菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°后形成的圖形。若,AB=2,則圖中陰影部分的面積為______.
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