Question

如圖，雙曲線y=-

2

x

和y=-

8

x

在第二現(xiàn)象中的圖象，A點(diǎn)在y=-

8

x

的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m＜0），AC∥y軸交y=-

2

x

圖象于點(diǎn)C，AB、DC均平行于x軸，分別交y=-

2

x

、y=-

8

x

的圖象于點(diǎn)B、D．
（1）用m表示A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求證：梯形ABCD的面積是定值；
（3）若△ABC與△ACD相似，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）把x=m代入y=-

8

x

中求出y的值，確定出A坐標(biāo)，把A縱坐標(biāo)代入y=-

2

x

中求出x的值確定出B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而確定出B坐標(biāo)，把x=m代入y=-

2

x

中求出C的縱坐標(biāo)確定出C坐標(biāo)，再將C縱坐標(biāo)代入y=-

8

x

中求出x的值，確定出D坐標(biāo)；
（2）由A，B，C，D的坐標(biāo)，確定出AB，CD，以及梯形高h(yuǎn)，利用梯形面積公式表示出梯形ABCD面積，整理即可得證；
（3）由題意得到∠CAB與∠ACD都為直角，根據(jù)三角形ABC與三角形ACD相似，分兩種情況考慮：AB：AC=AC：CD；AB：DC=AC：CA，分別求出m的值即可．

解答：解：（1）把x=m代入y=-

8

x

中，得：y=-

8

m

，即A（m，-

8

m

），
把y=-

8

m

代入y=-

2

x

中，得：x=

m

4

，即B（

m

4

，-

8

m

），
把x=m代入y=-

2

x

得：y=-

2

m

，即C（m，-

2

m

）；
把y=-

2

m

代入y=-

8

x

中，得：x=4m，即D（4m，-

2

m

）；
（2）∵AB=

m

4

-m=-

3m

4

，CD=m-4m=-3m，h=-

8

m

+

2

m

=-

6

m

，
∴S=

1

2

（-

3m

4

-3m）•（-

6

m

）=

9

4

+36=

45

4

，是定值；
（3）∵∠CAB=∠ACD=90°，△ABC與△ACD相似，
∴若AB：AC=AC：CD，則有（-

3m

4

）：（-

6

m

）=（-

6

m

）：（-3m），
整理得：

36

m2

=

9

4

m²，
解得：m=-2或m=2（不合題意，舍去）；
若AB：DC=AC：CA，則有AB：DC=1，即（-

3m

4

）：（-3m）=1，
整理得：-

3m

4

=-3m，無(wú)解，
綜上，若△ABC與△ACD相似，m的值為-2．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，梯形的面積公式，以及相似三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．