Question

如圖，A、B為⊙O上的點(diǎn)，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，AD⊥CD于點(diǎn)D，若AC為∠BAD的平分線．
求證：（1）AB為⊙O的直徑；（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AB是直徑，只需連接BC，證明∠ACB=90°，根據(jù)弦切角定理和角平分線的定義發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形ACD中的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可得到第三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；
（2）根據(jù)（1）中的過(guò)程，顯然發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等證明結(jié)論．
解答：證明：（1）連接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
又CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC=90°．
即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．
∴AB是⊙O的直徑（90°圓周角所對(duì)弦是直徑）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∴AC²=AB•AD．
點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用弦切角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定．