Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m+1）x+2=0．
（1）求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值；
（3）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂，求代數(shù)式m（x₁³+x₂³）-（2m+1）（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+5的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)題意m≠0，則計(jì)算判別式有△=（2m-1）²≥0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)
（2）利用求根公式得到x₁=2，x₂=

1

m

，而方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且m為整數(shù)，然后根據(jù)整數(shù)的整除性即可得到m的值；
（3）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0，變形為mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁=0，mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂=0．
然后把所求的代數(shù)式變形后利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算．

解答：（1）證明：m≠0，
∵△=（2m+1）²-4m×2
=（2m-1）²≥0，
∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x=

2m+1± (2m-1)2

2m

，
∴x₁=2，x₂=

1

m

，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且m為整數(shù)，
∴m=±1；

（3）解：∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂，
∴mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0．
∴mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁=0，mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂=0．
∴原式=mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁+mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂+5
=0+0+5
=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解．