Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂）我們就可以使用兩點(diǎn)間距離公式P1P2=

(x1-x2)2+(y1-y 2)2

來(lái)求出點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂間的距離．如：已知P₁（-1，2），P₂（0，3），則P1P2=

(-1-0)2+(2-3)2

=

2

．
通過(guò)閱讀材以上材料，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）已知點(diǎn)P₁坐標(biāo)為（-1，3），點(diǎn)P₂坐標(biāo)為（2，1）
①求P₁P₂=

13

；
②若點(diǎn)Q在x軸上，則△QP₁P₂的周長(zhǎng)最小值為

6+

13

．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為長(zhǎng)方形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為
（4，0）（4，3），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中M點(diǎn)沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，N點(diǎn)沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥BC交AC于F，交AO于G，連結(jié)MF．
當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)：
①直接寫(xiě)出直線(xiàn)AC的解析式：

y=-

3

4

x+3

；
②F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4-t

，

3

4

t

）；（用含t的代數(shù)式表示）
③記△MFA的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（0＜t＜4）；
④當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使△EAN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可直接求解；
②利用兩點(diǎn)之間的距離公式求得OA1和OA2的長(zhǎng)度，結(jié)合①即可求得三角形的周長(zhǎng)；
（2）①利用矩形的性質(zhì)易求點(diǎn)C的坐標(biāo)．利用待定系數(shù)法可以求得直線(xiàn)AC的方程；
②由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得到

FG

OC

=

AG

OA

來(lái)求GF的長(zhǎng)度，從而易求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
③由三角形的面積公式得到S=

1

2

AM•FG；
④需要分類(lèi)討論：AN=AE，NE=AN和AE=NE三種情況．

解答：解：（1）①P₁P₂=

(2+1)2+(1-3)2

=

13

；

②P₁坐標(biāo)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是

P

′ 1

（-1，-3），設(shè)直線(xiàn)

P

′ 1

P₂的解析式是y=kx+b（k≠0），
根據(jù)題意得：

-k+b=-3 2k+b=1

，
解得：

k=- 4 3 b= 11 3

，
則直線(xiàn)的解析式是：y=-

4

3

x+

11

3

，
在解析式中令y=0，解得：x=

11

4

，
則Q的坐標(biāo)是：（

11

4

，0），
則QP₁+QP₂=

P

′ 1

P₂=

(2+1)2+(1+4)2

=

9+25

=6，
則△QP₁P₂的周長(zhǎng)最小值是：6+

13

；
故填：6+

13

；

（2）①如圖，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（4，3），則C（0，3）．
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b（k≠0），則

4k+b=0 b=3

，
解得，

k=- 3 4 b=3

，
所以直線(xiàn)AC的解析式為：y=-

3

4

x+3；
故填：y=-

3

4

x+3；

②∵NF⊥BC，四邊形ABCO是矩形，
∴NG∥OC，BN=AG，
∴

FG

OC

=

AG

OA

，即

FG

3

=

t

4

，
∴FG=

3

4

t，
∴F（4-t，

3

4

t）；

③如圖，S=

1

2

AM•FG=

1

2

（4-t）×

3

4

t=-

3

8

t²+

3

2

t（0＜t＜4）；

④∵A（4，0），C（0，3），點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，
∴ON=3，OA=4，
∴由勾股定理得到AN=5．
如圖，當(dāng)AN=AE時(shí)，易求ON=OE=3，則E₁（0，-3）；
當(dāng)NE=AN時(shí)，OE=5-3=2，則E₂（0，-2）；
當(dāng)AE=NE時(shí)，設(shè)E₃（0，t），則（t-3）²=4²+t²
解得，t=

7

6

，
∴E₃（0，

7

6

）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是：E₁（0，-3），E₂（0，-2），E₃（0，

7

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積計(jì)算，矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．解（3）④題時(shí)，要分類(lèi)討論．