Question

10．已知：△ABC中∠ACB=90°，E在AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于D，與AC相交于F，連接AD． 
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）連接OC，如果∠B=30°，CF=1，求OC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD．根據(jù)圓的半徑都相等的性質(zhì)及等邊對等角的性質(zhì)知：∠1=∠2；再由切線的性質(zhì)及平行線的判定與性質(zhì)證明∠1=∠3；最后由角平分線的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）連接DF，根據(jù)角平分線的定義得到∠3=30°，由BC是⊙O的切線，得到∠FDC=∠3=30°，解直角三角形得到AF=2，過O作OG⊥AF于G，得到四邊形ODCG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CG=2，OG=CD=$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∴OD=OA，
∴∠1=∠2，
∵BC為⊙O的切線，
∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分線；

（2）解：連接DF，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠3=30°，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠FDC=∠3=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$CF=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{3}$CD=3，
∴AF=2，
過O作OG⊥AF于G，
∴GF=$\frac{1}{2}$AF=1，四邊形ODCG是矩形，
∴CG=2，OG=CD=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{O{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．