Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，P、Q、R分別是AB、BC、AD的中點(diǎn)，連接PQ與DA的延長(zhǎng)線交于S，連接PR與CB延長(zhǎng)線交于T，求證：S、T、Q、R四點(diǎn)共圓．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線定理可得PQ∥AC，PR∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PQB=∠ACB，∠ARP=∠ADB，然后根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠ACB，從而得到∠PQB=∠ARP，依據(jù)四點(diǎn)共圓的判定定理即可得到S、T、Q、R四點(diǎn)共圓．

解答：解：連接AC、BD，如圖．
∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)R為AD的中點(diǎn)，
∴PQ∥AC，PR∥BD，
∴∠PQB=∠ACB，∠ARP=∠ADB．
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠PQB=∠ARP，
∴S、T、Q、R四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、四點(diǎn)共圓的判定等知識(shí)，由中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵．