Question

（本小題滿(mǎn)分5分）
已知等邊△OAB的邊長(zhǎng)為a，以AB邊上的高OA₁為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃鞯冗?
△OA₁B₁，A₁B₁與OB相交于點(diǎn)A₂．
（1）求線(xiàn)段OA₂的長(zhǎng)；
（2）若再以O(shè)A₂為邊逆時(shí)針作等邊△OA₂B₂，A₂B₂與OB₁相交于點(diǎn)A₃，按此作法進(jìn)
行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，┉，△OA_nB_n，（如圖），求△OA_nB_n，的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）OA2=3/4a （2）3a（）n  /  2n

（1）在等邊三角形中，由勾股定理可求得其一邊上的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系，
（2）根據(jù)其一邊上的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系得出OA_n的長(zhǎng)，即可得出三角形的周長(zhǎng)，
（3）根據(jù)前面得出的結(jié)果找出圖形的變化規(guī)律即可求解．
解：（1）OA₂=OA₁=×(OA)=OA=a；
（2）依題意，得OA₁=OA，OA₂=OA₁=()²OA，OA₃=OA₂=()³OA，
以此類(lèi)推，根據(jù)上面結(jié)果可知：OA_n=()ⁿa，
故△OA_nB_n的周長(zhǎng)=3()ⁿa．
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，是找規(guī)律題，找到第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)與前一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，難度較大．