Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2的對(duì)稱軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時(shí)，求四邊形POBE的面積；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在上，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣2的對(duì)稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，∴ ，解得： ，拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2；

（2）

解：令y= x2﹣ x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，則 ，解得： ，∴y= x﹣2，

設(shè)D（m，0），

∵DP∥y軸，

∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），

∵OD=4PE，

∴m=4（ m2﹣ m﹣2﹣ m+2），

∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5， ），E（5， ），

∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD= ×5× ﹣ 1× = ；

（3）

解：存在，設(shè)M（n， n﹣2），

①以BD為對(duì)角線，如圖1，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

∴n=4+ ，

∴M（ ， ），

∵M(jìn)，N關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴N（ ，﹣ ）；

②以BD為邊，如圖2，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

過(guò)M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+DH2=DM2，

即（ n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合題意），n2=5.6，

∴N（4.6， ），

同理（ n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

∴n1=4+ （不合題意，舍去），n2=4﹣ ，

∴N（5﹣ ， ），

③以BD為邊，如圖3，

過(guò)M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+BH2=BM2，

即（ n﹣2）2+（n﹣4）2=12，

∴n1=4+ ，n2=4﹣ （不合題意，舍去），

∴N（5+ ， ），

綜上所述，當(dāng)N（ ，﹣ ）或（4.6， ）或（5﹣ ， ）或（5+ ， ），以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx﹣2的對(duì)稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，于是列方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式為y= x﹣2，設(shè)D（m，0），得到E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），根據(jù)已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5， ），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）設(shè)M（n， n﹣2），①以BD為對(duì)角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD，求得n=4+ ，于是得到N（ ，﹣ ）；②以BD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，過(guò)M作MH⊥x軸于H，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．