Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．直線y=﹣2x﹣1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（﹣2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F．

（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式；

（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，；（2）P1（，1），P2（，1），P3（2，﹣1）；（3）t1=，t2=6，t3=，t4=6.5．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)和m的值，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，因?yàn)槊娣e相等，所以AD邊上的高相等，即為1；從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，再利用拋物線的解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；

（3）如解答圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形，注意不要漏解．針對(duì)每一個(gè)菱形，分別進(jìn)行計(jì)算，求出線段MF的長(zhǎng)度，從而得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

試題解析：（1）∵點(diǎn)B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，所以，點(diǎn)B（﹣2，3），又∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，∵點(diǎn)B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為．

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，∴P（x，），若S△ADP=S△ADC，∵S△ADC=ADOC，S△ADP=AD|y|，又∵點(diǎn)C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點(diǎn)，∴C（0，﹣1），∴OC=1，∴||=1，即=1或=﹣1，解得：x1=，x2=，x3=x4=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 P1（，1），P2（，1），P3（2，﹣1）；

（3）結(jié)論：存在．如圖2

∵拋物線的解析式為，∴頂點(diǎn)E（2，﹣1），對(duì)稱軸為x=2；

點(diǎn)F是直線y=﹣2x﹣1與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），∴AE=．

如右圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形：

①菱形AEM/span>1Q1．

∵此時(shí)EM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=，∴t1=；

②菱形AEOM2．

∵此時(shí)DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此時(shí)EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=，∴t3=；

④菱形AM4EQ4．

此時(shí)AE為菱形的對(duì)角線，設(shè)對(duì)角線AE與M4Q4交于點(diǎn)H，則AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=2.5，∴DM4=M4E﹣DE=2.5﹣1=1.5，∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，∴t4=6.5．

綜上所述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)Q，使得以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t的值為：t1=，t2=6，t3=，t4=6.5．