【題目】如圖,已知AC為正方形ABCD的對角線,點P是平面內(nèi)不與點A,B重合的任意一點,連接AP,將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PE,連接AE,BP,CE.
(1)求證:;
(2)當(dāng)線段BP與CE相交時,設(shè)交點為M,求的值以及的度數(shù);
(3)若正方形ABCD的邊長為3,,當(dāng)點P,C,E在同一直線上時,求線段BP的長.
【答案】(1)見解析;(2),;(3)或
【解析】
(1)根據(jù)題意可知為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得,,然后利用兩組對應(yīng)邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似即可證出;
(2)利用兩組對應(yīng)邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似,即可證出,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值,,然后利用三角形的內(nèi)角和即可求出;
(3)根據(jù)點P、C、E的相對位置分類討論:①當(dāng)點E在線段CP上時,利用勾股定理求出PC的長,從而求出CE的長,再根據(jù)(2)的結(jié)論即可求出BP;②當(dāng)點P在線段CE上時,原理同上.
解:(1)∵線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PE
∴為等腰直角三角形
∴,
∵在正方形ABCD中,,
∴,
∴
∴
(2)由(1)知
∴
即
又∵
∴
∴,
又∵
∴
(3)①如下圖所示,當(dāng)點E在線段CP上時
∵在正方形ABCD中,∠,
∴
∴在中,
∴
∵由(2)知且
∴;
②如下圖所示,當(dāng)點P在線段CE上時
由①得,
∴
由(2)知且
∴;
綜上所述:或.
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【題目】下列關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的是( )
A.x2+2=0B.2x2+x+1=0
C.x2-x+3=0D.x2-2x-1=0
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【題目】是等邊三角形,點P在的延長線上,以P為中心,將線段逆時針旋轉(zhuǎn)n°()得線段,連接,.
(1)如圖,若,畫出當(dāng)時的圖形,并寫出此時n的值;
(2)M為線段的中點,連接.寫出一個n的值,使得對于延長線上任意一點P,總有,并說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于點D,DE恰好是AB的垂直平分線,垂足為E.若BC=6,則AB的長為( )
A.3B.4C.8D.10
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于原點O和點A(6,0),拋物線的頂點為B.
(1)求該拋物線的解析式和頂點B的坐標(biāo);
(2)若動點P從原點O出發(fā),以每秒1個長度單位的速度沿線段OB運動,設(shè)點P運動的時間為t(s).問當(dāng)t為何值時,△OPA是直角三角形?
(3)若同時有一動點M從點A出發(fā),以2個長度單位的速度沿線段AO運動,當(dāng)P、M其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動.設(shè)它們的運動時間為t(s),連接MP,當(dāng)t為何值時,四邊形ABPM的面積最小?并求此最小值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A,B兩點,與x軸相交于點C,連接OB,且的面積為.
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)將直線AB向下平移,若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖像只有一個交點,試說明直線AB向下平移了幾個單位長度?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是的中點,連接AC并延長至點D,使CD=AC,點E是OB上一點,且,CE的延長線交DB的延長線于點F,AF交⊙O于點H,連接BH.
(1)求證:BD是⊙O的切線;(2)當(dāng)OB=2時,求BH的長.
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【題目】如圖,直線y=2x+6與反比例函數(shù)的圖象交于點A(1,m),與x軸交于點B,平行于x軸的直線y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖象于點M,交AB于點N,連接BM.
(1)求m的值和反比例函數(shù)的表達式;
(2)觀察圖象,直接寫出當(dāng)x>0時,不等式2x+6-<0的解集;
(3)當(dāng)n為何值時,△BMN的面積最大?最大值是多少?
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【題目】如圖,已知斜坡BQ的坡度i=1:2.4,坡長BQ=13米,在斜坡BQ上有一棵銀杏樹PQ,小李在A處測得樹頂P的仰角為α,測得水平距離AB=8米.若tanα=0.75,點A,B,P,Q在同一平面上,PQ⊥AB于點C,則銀杏樹PQ的高度為_____米.
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