Question

在“五個(gè)重慶”建設(shè)中，為了提高市民的宜居環(huán)境，某區(qū)規(guī)劃修建一個(gè)文化廣場(chǎng)（平面圖形如圖所示），其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓，若整個(gè)廣場(chǎng)的周長(zhǎng)為628米，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB=y米，BC=x米．（注：取 π=3.14）
（1）試用含x的代數(shù)式表示y；
（2）現(xiàn)計(jì)劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等，平均每平方米造價(jià)為428 元，在四個(gè)半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖，平均每平方米造價(jià)為400元；
①設(shè)該工程的總造價(jià)為W元，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請(qǐng)列出設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說明理由；
③若該工程在政府投入1千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長(zhǎng)不超過AB長(zhǎng)的三分之二，且建設(shè)廣場(chǎng)恰好用完所有資金，問：能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請(qǐng)列出所有可能的設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把組合圖形進(jìn)行分割拼湊，利用圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式解答整理即可；
（2）①利用組合圖形的特點(diǎn)，算出種植花草和鋪設(shè)鵝卵石各自的面積，進(jìn)一步求得該工程的總造價(jià)即可解答；
②利用配方法求得最小值進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)論；
③建立不等式與一元二次方程，求出答案結(jié)合實(shí)際即可解決問題．

解答：解：（1）由題意得，
πy+πx=628，
∵3.14y+3.14x=628，
∴y+x=200，則y=200-x；

（2）①W=428xy+400π(

y

2

) 2+400π(

x

2

)2，
=428x（200-x）+400×3.14×

(200-x)2

4

+400×3.14×

x2

4

，
=200x²-40000x+12560000；
②僅靠政府投入的1千萬不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)．理由如下：
由①知W=200（x-100）²+1.056×10⁷＞10⁷，
所以不能；
③由題意可知：x≤

2

3

y即x≤

2

3

（200-x）解之得x≤80，
∴0＜x≤80，
由題意得：W=200（x-100）²+1.056×10⁷=10⁷+6.482×10⁵，
整理得（x-100）²=441，
解得x₁=79，x₂=121（不合題意舍去），
∴只能取x=79，則y=200-79=121；
所以設(shè)計(jì)方案是：AB長(zhǎng)為121米，BC長(zhǎng)為79米，再分別以各邊為直徑向外作半圓．

點(diǎn)評(píng)：此題利用基本數(shù)量關(guān)系和組合圖形的面積列出二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求得最值，進(jìn)一步結(jié)合不等式與一元二次方程解決實(shí)際問題．