Question

如圖，已知，在?ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)．
（1）求證：DE=BF；
（2）若EF=BE，判斷四邊形MFNE形狀，并證明．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，AB∥CD，再由AE=CF可得EB=DF，進(jìn)而得到四邊形BEDF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE=BF；
（2）首先證明四邊形BEDF是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EN⊥FB，進(jìn)而得到四邊形MFNE是矩形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴EB=DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴DE=BF；

（2）四邊形MFNE是矩形；
∵M(jìn)、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，
∴EM=

1

2

ED，F(xiàn)N=

1

2

BF，
∵DE=BF，
∴EM=FN，
∵四邊形BEDF是平行四邊形，
∴EM∥NF，
∴四邊形MFNE是平行四邊形，
∵EF=BE，
∴△EFB是等腰三角形，
∴EN是△EFB的中線，
∴EN⊥FB，
∴四邊形MFNE是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及矩形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理．